地面控制导线对贯通影响的误差预计

tengizxi

前  言
对于铁路山岭隧道来说，纵向误差跋焖淼乐邢叩某ざ龋?灰??淮笥诙ú庵邢叩奈蟛睿?芄宦?闫坦斓囊?蠹纯桑?馐侨菀鬃龅降摹Ｊ导噬献钪匾?氖呛嵯蛭蟛睿?蛭?嵯蛭蟛钊绻???艘欢ǖ姆段В?突嵋?鹚淼乐邢呒负涡巫吹母谋洌?踔炼茨诮ㄖ?锴秩牍娑ㄏ藿缍?挂殉钠霾糠植鸪?亟ǎ??こ淘斐伤鹗А?span lang=EN-US>
由于山岭隧道都位于崇山峻岭地形复杂地区，过去多采用三角测量或短基线的视差角、或者是边角测量网。目前由于电磁波测距仪迅速发展，尤其是短程测距仪器，它的体积小、重量轻，精度能满足要求，所以越来越多地采用导线测量作为地面控制。虽然实际工作中，为了进行检核和提高测量成果的精度，都是将导线布设成闭合或附合导线，但在分析地面控制导线对横向贯通误差影响时，却往往采用：
1）先把导线看成支导线，然后取加权平均；
2）虽然是闭合或附合导线，但预计时只顾及方位角条件。
这显然不尽合理，故本文从条件平差入手，推导出以下电算化误差预计严密公式。

1  公式推导
图1所示为某隧道，i、j为两个洞口投点，将其纳入地面附合控制导线（ AB-i-j-CD）中，P为贯通点，y′方向为贯通面水平重要方向。x-o-y 坐标系为测量坐标系，θ角为x?′方向（即贯通面中线方向）在此坐标系中的坐标方位角。
旋转x-o-y坐标系，使y轴与y′轴方向保持一致，得旋转后的新坐标系x′-o-y′。则在x′-o-y′坐标系中，由i点推算到贯通点P的坐标y′pi与j点推算到贯通点的P的坐标y′pj的差数的中误差，即为隧道的横向贯通中误差。
1.1  坐标系改化要想把导线点坐标由x-o-y坐标系转换到x′-o-y′坐标系，只需将其起算点坐标与起算边坐标方位角由x-o-y坐标系转化到x′-o-y′坐标系即可。1）坐标转换公式如下： 式中：x′、y′——导线点在x′-o-y′坐标系中的纵、横坐标； x、y——导线点在x-o-y坐标系中的纵、横坐标；    θ——x′轴x-o-y坐标系中的坐标方位角，θ=α贯通中线。     图1
2）坐标方位角转换公式如下：
α′=α-θ
式中：
α′——导线边在x′-o-y′坐标系中的坐标方位角；
α——导线边在x-o-y坐标系中的坐标方位角；
其他同式（1）。
1.2  附合导线条件方程式
对于单一附合导线，它应满足的条件方程有3个。即，方位角条件、纵、横坐标条件方程。
1）方位角条件：
v1+v2+…+vn+ωa′=0      (3)
式中：
n——导线的总点数，即转折角个数；
；
α′AB、α′CD——起算边AB、CD在x’-o-y′坐标系中的坐标方位角。
2）纵、横坐标条件方程：

上列两式中：

αi′——导线各边在x′-o-y′坐标系中的坐标方位角；
xn′、yn′——导线终点n（即C点）在x′-o-y′坐标系中的计算坐标；
xi′、yi′——导线点i在x′-o-y′坐标系中的计算坐标；
xB′、yB′、xc′、yc′——起算点B、C在x′-o-y′坐标系中的坐标；
ρ——取206265″。
以下不加说明时，均指导线在x′-o-y′坐标系中的坐标与坐标方位角。
1.3  附合导线对贯通面影响的权函数式
按图1中所示推算路线，分别由i、j两点推算出贯通点P的横坐标计算式如下：

式中：
——平差后，地面导线第k边边长与坐标方位角；
sip、αip′——地面导线点i至贯通面P的直线距离与坐标方位角；
sjp、αjp′——地面导线点j至贯通面P的直线距离与坐标方位角。
由于不考虑进洞方向ip、jp的观测误差及地下导线测量误差的影响，故sip、aip′、sjp、αjp′可视为常数，得权函数式为：

式中：

线性化后得，

同理可得：

所以，得权函数式的最终形式为：

1.4  附合导线条件方程、权函数式的系数及观测值权倒数的确定
由1.1、1.2中可得条件方程、权函数式的系数，并确定观测值的权倒数，见表1所示。
1.5  地面附合导线误差对横向贯通影响的计算式
1)权倒数计算式
由条件平差的权倒数计算式，

表1
观测值号    a    b    c    fy    1/p
角      度    1    1[ 0 ]                   1
    2    1                   1
    ...    ...    ...    ...    ...    ...
    i-1    1                   1
    I    1                   1
    ...    ...    ...    ...    ...    ...
    j-1    1                   1
    J    1              0    1
    ...    ...    ...    ...    ...    ...
    n-1    1              0    1
    N    1    0    0    0    1
边      长    1    0              0     
    ...    ...    ...    ...    ...    ...
    i-1    0              0     
    I    0                    
    ...    ...    ...    ...    ...    ...
    j-1                        
    J                   0     
    ...    ...    ...    ...    ...    ...
    n-1                   0     
注：1）表中以角度观测值的中误差作为单位权中误差，边长观测值的中误差可用测距仪标称精度来定。观测边长的权Psi=m02/msi2；
2）如控制导线为闭合导线时，表中有［］的地方，用［］中的相应数据替换。

根据表1数据，可计算出：

上述式（11）-（17）中：

   

                                    
并令

得地面导线误差对横向贯通影响的权倒数计算式为：

2）中误差计算式为：

式中：
m0——单位权中误差。误差预计时，以角度观测值的中误差为单位权中误差，即m0=mβ。
3）误差预计公式
取2倍中误差作为极限误差，则得地面附合导线对横向贯通影响的误差预计公式为：
??My预计′=2m                                              (42)
1.6  地面闭合导线误差对横向贯通影响的计算式
地面闭合导线的编号如图2所示，起算点B既作为起点，编号为1；又是终点，编号为n。i、j仍为两个洞口投点。
由于闭合导线可看成是附合导线的一种特殊形式，故公式推导方法基本相同。以下仅对上述公式中的不同之处加以说明。
1）式（3）变为
v2+…+vn+ωα′=0
式中：
n——导线的总点数，即总测角个数；
。

图2

2）所有公式、表格中的xn′、yn′为导线终点n（即起算点B）在x′-o-y′坐标系中的计算坐标；
3）式（24）、式（26）中的 用 替换；
4）式（13）-（17）、式（37）-（40）中的n用n-1替换；
5）式（34）变为Q=(i-2) (xj′-xi′)=(i-2)·O。

2  算例
图3所示为某实测四等附合导线，导线总长约9.04 km，平均边长1.5 km。水平角观测采用T2经纬仪，测距采用DI5S（3+2×10-6）型测距仪。3#、6#号点为洞口投点，贯通中线的坐标方位角为45°00′00″。
1）误差预计时，取m0=mβ=±2.5″，测边误差按测距仪标称精度（3+2×10-6）计算，有：a）按支导线形式，取加权平均的方法进行预计，得My预计′=±5.72 cm；b）采用本文公式，运用Quick BASIC语言编程计算，得My预计′=±3.98 cm。2）通过实测数据，经间接平差后，在3#、6#号点的相对误差椭圆上，求出贯通水平重要方向（横向）的位差为±1.97 cm，即My预计′=±3.94 cm。     图3
通过上述算例表明，按本文公式所算结果与实测值非常接近，而按支导线形式所得结果偏差较大，更进一步证明了本文所提出公式的正确性与实用性。

3  结束语
本公式由严密平差导出，实用性强。既可作为地面布网设计时单一控制导线对贯通面水平重要方向（横向）上的误差预计式；又可作为施测完成后，控制导线点对贯通影响的精度评定式，此时，式（36）中m?0的取值为平差后计算出的单位权中误差。且利于用计算机编程进行计算，可广泛应用于铁路、公路、水利、矿山等部门的贯通测量中。