基本电磁场理论

我是传奇

基本电磁场理论

   麦克斯韦方程组（时间域）




式中E为电场强度（伏/米）；H为磁场矢量（安培/米）；B为磁感应强度或磁通密度（韦伯 ）；D为电通量密度或电位移矢量（库仑/ ）。 称为哈密顿算符，它是矢量微分算符，在直角坐标系中为：

=

和矢量场的点乘和叉乘，分别表示矢量场的散度和旋度。例如

   div A= A=

   rotA= A=

方程组的物理意义是：电场E可以是自由电荷密度ρ引起的发散场，也可以是由变化磁场 引起的旋涡场，磁场H是由传导电流 和位移电流 激励产生的旋涡场，空间并无独立的磁荷存在。

电磁场四个基本量通过介质电性参数 和 联系起来，在各相同性介质中它们的关系是：D= E ，H=  。 和 分别称为介质的电容率和导磁率。

电磁场中电流密度 = E，（欧姆定律）式中 西门子每米，

电阻率 是描述介质电学性质的主要物理量，大地电磁测深法实际上是通过对地面电磁场的观测，来研究地下岩石电阻率的分布情况。



   谐变场的麦克斯韦方程组（频率域）



利用傅立叶变换可以将任意随时间变化的电磁场分解为一系列谐变场的组合，通常我们以 表示谐变场的时间因子，根椐欧拉公式可知： ，可见它的实部和虚部都表示随时间是谐变的。

   大地电磁测深所讨论的电磁场频率是极低的，一般研究周期T 秒的振动，这时导电介质中的位移电流 相对于传导电流 可以忽略不计（ ），于是，导电介质低频谐变场的麦克斯韦方程组为：

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式中 是因为导电介质内部体电荷密度实际上为零，公式中时间因子都隐含在场E和H中，方程组是大地电磁测深理论研究的出发点。



电磁场的波动方程和边界条件

交变电磁场在互相激励，互相转化的过程中，将以波的形式在介质中传播。电磁波的波动方程描述了电场或磁场随空间和时间变化的规律，谐变场的波动方程称为赫姆霍茨方程，它可以由麦克斯韦方程组导出。

，其中 ， 。 称为传播常数，它是一个复数，亦称复波数。

这两式称为赫姆霍茨方程。

称为拉普拉斯算子，它在笛卡尔坐标系中为：


用赫姆霍茨方程求解介质中电磁场分布和一般求偏微分方程的定解问题一样，它必须满足给顶的边界条件。两中介质分界面处的边界条件，可以利用麦克斯韦方程组的积分形式，导出下列对应的关系式：

麦克斯韦方程组                          边界条件

                     

                        

                     

                                

即场E和H在分界面两侧的切线分量是连续的，而D和B在分界面两侧的法线分量是连续的。另外，根据电荷守恒原理可以导出分界面两侧电流密度 的法向分量也是连续的，即

         ，而在无穷远处所有电磁场各分量均应为零。

  平面电磁波在均匀大地介质中的传播

假设大地是由均匀各向同性介质所组成，我们来讨论由高空向地球垂直入射的平面电磁波在其中的传播特性，并导出地面电磁场与介质电阻率之间的关系式。

一、均匀介质中平面波的传播

引入笛卡尔坐标系，令Z轴垂直向下，X-Y轴位于地表水平面上。我们把麦克斯韦旋度方程展成分量形式：




由于平面电磁波垂直入射于均匀各相同性大地介质中，其电磁场沿水平方向上是均匀的，即

  

将它代入麦克斯韦旋度方程分量形式中有

，

，

，

，


由式可以看出：电磁场分量 只和 有关， 只和 有关，它们都沿Z轴传播，物理学中称这种波为线性偏振波。我们以场沿Y方向的分量来命名线性偏振波，称

— 一组为E偏振波， — 一组为H偏振波。两组线性偏振波中电磁场之间的关系和相应的波动方程为：

  E偏振（ — ）

，

，

，


H偏振（ — ）

，

，



其中    ，

而且，两组波中均无场的垂直分量，即 = =0。

   注意：在水平不均匀或各向异性介质中，偏振波的分解将受到介质电性轴的限制，且介质中电场E和磁场H是不正交的。另外，由于平面电磁波亦称TEM波（横电磁波），我们还把E偏振波称为TE波，H偏振波称为TM波。

波的传播：（以H偏振为例），这时有波动方程：


这是一个常微分方程，其一般解为：

   

式中A和B 是待定的积分常数，它由边界条件和初始条件来确定。由于在无穷远（Z ）处场 =0，它要求积分常数B=0。于是有

  ，                                 1

当 Z=0时，有

                               2

这里假设 和 分别为地面上磁场H的振幅和时间因子。

再把传播常数 写成复数形式：

，            3


联立 1，2，3得

  

我们知道式中 表示任一点的场随时间是谐变的，圆频率 =2 /T表示单位时间内场振动次数（即1/T）的2 倍，周期T是出现相邻两同相点的时间间隔，而 表示场沿传播方向Z是谐变的， 称为圆波数，它表示单位长度内波数（即1/ ）的2 倍，波长 是沿传播方向上两相邻同相点之间的距离。波长 是电磁波的一个重要参数，以为它是场的频率因子和介质的电性参数的函数：

       = ，

取 ，即 亨利/米，代入得：

米， 公里。

另外，式中 表示场振幅沿传播方向Z是呈指数衰减的， 是介质的吸收系数，它是传播常数 的实数部分。有上面的推导可知，吸收系数 和传播常数 可以用波长来表示：

  ，


所以有  

它表示随时间谐变的电磁场在均匀各向同性大地介质中传播时，沿传播方向是谐变的，并且按指数规律衰减。

  考虑到介质对电磁波的吸收作用，还须引入穿透深度的概念。穿透深度表示场振幅衰减为地面值的1/ 时电磁波的所传播的距离。用P表示穿透深度  

  

它表示穿透深度于波长成正比，或者说介质的导电性越好，，信号频率越高，场衰减得越快，这时场将只集中在介质的浅部，物理学中称此现象为集肤效应，因而穿透深度也称为集肤深度。集肤深度越大，大地电磁测深法的勘探深度越深，因而集肤深度具有勘探深度的意义。

  二、介质的电阻率和波阻抗的关系

为了研究均匀各向同性大地介质的电阻率和地面电磁场测量值之间的关系，我们引入波阻抗。平面电磁波的波阻抗定义为 Z=E/H

波阻抗的单位为欧姆（ ）

  由于均匀各向同性介质中的电场E和磁场H是正交的，所以，在地面上任意方位的正交测量轴上X和Y上，有

  它表明沿任意正交测量轴上测得的波阻抗都相等，即均匀各向同性介质中波阻抗是和测量轴方位无关的标量，称为标量阻抗。

我们以H偏振波来讨论波阻抗和介质电阻率的关系，根据

，  

偏振波中 和 的关系有

，

波阻抗 为


用同样的方法可以求得E偏振波的波阻抗：


显然，波阻抗是一复数，两组波阻抗的振幅值相等，并且包含有介质电阻率信息：

         

         ，公式表明对地面电磁波的测量，可以求得介质的电阻率。考虑除了铁磁介质外，一般岩石 ，取 亨利/米， ，并将E（毫伏/公里）和H（伽玛）用实际测量带入，经过单位换算，得

                       

上述均匀介质中的波阻抗也称为介质的特征阻抗，通常用 表示，是最基本的关系式。