近场波动的数值模拟

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近场波动的数值模拟
廖振鹏
国家地震局工程力学研究所,哈尔滨 150080
摘 要 本文评述了近年来波源(或散射体)及其邻域内波动数值模拟的主要研究结果,着重讨
论了人工边界条件这一关键问题的研究进展
关键词 近场波动,数值模拟,人工边界条件
1 引 言
近场波动是波源(或散射体)及其邻近区域中的波动.近场波动问题包括散射问题和波
源问题两类[ 1 ].给定输入波动,研究散射体及其附近介质中的动力反应称为散射问题[ 2～5 ],孔
洞,夹杂和裂缝的动应力集中,地上和地下结构在天然和人工地震波作用下的反应.水下声
波与水中障碍体的相互作用以及水波与近海结构的相互作用等皆可归属散射问题范畴.给定
波源(或动载)研究波源附近区域内的波动称为波源问题[ 6～8 ].破坏性地震在震源附近几十至
几百公里范围内产生的强烈震动,建筑结构和地基基础在动载作用下的反应及地震勘探中的
波动问题等则属波源问题范畴.因波源附近可能存在散射体,波源问题有时亦包含散射问题.
由于近场介质与外围介质之间存在波动能量的交换,近场介质常为非均匀,各向异性并可能
具有非线性,因此这两类近场波动问题通常是开放系统中复杂的三维波动问题.除十分简单
的情形外,传统的解析方法对它们难以奏效.自计算机问世以来,解析方法与计算机数值计
算技术相结合的方法,例如,离散波数和快速傅里叶变换,边界元和摄动技术等获得很大发
展,增强了处理近场波动问题的能力.但是,这些方法的适用范围亦有其局限性.例如,Gau s2
sian射线方法[ 9 ]和其他经典射线理论适用于散射体尺度远大于波长的情形;K irchhoff-
H elm ho ltz积分法[ 10 ]适用于介质具有明晰分界面情形,但未计入分界面上的多次散射,且不适
用于波长与散射体尺度相近的情形;而摄动法[ 11 ]仅适用于弱散射情形.此外,这类方法更难
以处理近场非线性问题.近年来,一种返朴归真的研究方法愈来愈受到国内外研究者的重视.
这就是采用有限元或有限差分方法将连续问题转变为离散问题,并运用计算机直接进行波动
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数值模拟.这是因为,有限区域内的介质无论在几何上和力学性质上多么复杂,其中的波动
在原则上可以用时空离散技术加以模拟.此研究方法可称之为波动计算机仿真.这一称呼有
两层含意:第一,波动的物理过程(即介质内一点的扰动只能在邻近时刻传递到邻近的质
点)可以用适当的离散方法直接模拟;第二,若用计算机图形仿真技术显示模拟结果,则可
借助直观形象为近场波动正,反问题的研究提供启示.波动计算机仿真可视为研究近场波动
问题的一种具有普适性的试验方法.这种数值试验类似于原型和物理模型试验,但是,在模
拟复杂近场波动的能力上,在模型"制作",参数选取和变动的灵活性上,较之实物模型试验
皆具有无比优越性.同时,取得准确而完整的数据无需任何"测量"设备,并可灵活而直观
地显示试验结果.此方法已应用于很多学科领域.这些应用研究表明,在许多情况下研究者
能够判断数值模拟结果的合理性,大大推进了研究工作;但是,在另一些情况下则得不到合
理的结果,或难以判断结果的合理性.出现问题的原因在于这一模拟方法尚未建立在健全的
理论基础之上.这些研究还表明,这一数值方法的应用受到计算量过大的限制.尽管计算机
技术已达很高水平,使用并行运作技术处理大型波动数值模拟在原则上已不存在技术困难,改
进算法以合理地降低CPU时间消耗和对计算机容量的要求仍然至关重要.这对于工程应用
尤其如此.为了使这一具有极大潜力的研究手段广泛地用于科学研究和工程设计,需要解决
用有限离散网格中的波动模拟无限连续介质中有限区域内的波动所出现的新的波动理论问
题,并在此基础上制定高效算法.近场波动数值模拟的基本问题可以概括为:近场区域内波
动的离散模拟和近场区域边界的处理.本文旨在评论这两个问题的研究现状和发展趋势.由
于前者在原则上可用有限元和有限差分方法处理,而这两种数值方法已具备较为健全的理论
基础,本文主要评论它们在波动数值模拟中的应用.近场波动数值模拟的关键是后者,即建
立近场区域的边界条件,并结合前者研究此边界条件在数值积分中的精度和稳定性.由于这
一边界条件是人为设置的,一般称为人工边界条件(A rt ificia lBounda ryCond it ion,以下简称
ABC).ABC应保证有限近场区域与无限外部区域之间波动能量的交换. 70年代以来,在国内
外已进行了大量关于ABC的研究工作,这些工作除来自土木工程和地学领域外,亦来自声学,
空气动力学,水动力学,电机工程,气象学,环境科学以至等离子体物理等不同学科领域.这
是因为在不同领域中近场波动数值模拟问题的数学物理实质是相同的.ABC问题是本文评
论的重点.本文其余部分由4节构成.第2节评述ABC问题的提出和精确的处理方法,第3节
评述ABC研究的焦点——局部ABC的研究现状,第4节评述近场波动数值模拟的应用研究,
第5节为结语,并简要讨论今后科研方向.
2 ABC问题及其精确处理方法
2. 1 无限域和ABC问题
近场波动问题的共同特点是它们仅涉及波源(或散射源)及其近区内波动的解释,而对
近区之外向远处延伸的介质中的具体波动过程不感兴趣.无限域(infin itedom a in)就是针对
这一特点提出的模拟外部介质的数学物理概念.所谓无限域即无界而且规则的空间域.在这
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里,"无界"的含义为,对一维,二维和三维问题分别具有无限的长度,面积和体积;而"规
则"则指在近区之外不存在波源或产生散射的局部非均匀性.在一般情况下,外区介质亦可
能具有非线性,但本文主要评论外区介质中的波动为线性的情形.严格地说,上述无限域概
念与实际情况并不相符,因为,外区介质即使延伸很远但并非无限大,同时,一般亦不具有
上述规则性.但是,这一无限域概念抓住了简化近场波动问题的关键.因为,外区介质的真
实情况与此无限域概念的差异对近场波动的影响只具有次要意义.例如,在分析建筑结构与
地基土在地震波或动载作用下的相互作用时,距结构一定距离之外的地球介质常简化为水平
成层弹性半空间.这一无限域模型并不符合实际,因为,地球并非水平成层半无限弹性体.但
是,采用此无限域模型模拟外区介质是合理的.这是因为就所论结构的尺寸而言,无需考虑
地球的有限性,同时,远处建筑结构或地球介质的局部变化所激起的散射波因几何扩散和介
质吸收效应对所论结构及其邻区内的波动只有次要影响.另一个例子是石油地震勘探和其他
工程地震勘探中的波动问题,即地表或浅层人工震源产生的地震波在波源附近介质中传播的
问题.在这里,基于相同考虑亦常将所论区域之外的地球介质简化为水平成层弹性半空间.与
土木工程和地球物理领域中地面之下的半空间无限域概念相对照,在气象学问题中常需引入
由空气构成的地面之上的半空间无限域.对于水下声学问题,为了模拟水中物体(例如,海
洋中的潜艇)或海底局部非规则地形附近的水介质亦需引入类似的无限域概念.一般说来,当
我们仅对局部区域内的动力学过程感兴趣时,为了简化对周围环境的模拟均需引入无限域概
念.这一概念的引入极大地推动了波动问题的研究,同时,也在分析工作中提出了如何处理
无限域的问题.
就近场波动的数值模拟而言,无界域的处理就是ABC问题.人工边界概念最初是由A l2
term an[ 12 ](1968)在用有限差分方法计算单层覆盖弹性半空间爆炸内源产生的近场波动时提
出的.她在距波源足够远处设置人工边界以避免ABC对近场波动在要求的计算时间内的影
响.严格地说,她处理人工边界的方法未涉及ABC,ABC可以任意地给定,例如,ABC为固
定边界条件.当要求的计算时间长度较短和运动形式较简单时,这一处理方法可行.事实上,
此法迄今仍常用于获得简单情形下精确的数值解,即排除了人工边界影响的解答.但是,在
其他情形下,它对计算机容量和机时的过高要求常难以满足.A lterm an在这一工作中还将数
值模拟解法与简洁而精美的Cagn ia rd积分变换解析解法做了对比.她发现,即使采用上述原
始的人工边界处理方法,用前者获取整个近场区内各点动力反应的计算机消耗竟低于后者计
算近场区内一点的动力反应的计算机消耗.她进一步指出,若介质分界面的数量增加,前者
的计算量几乎不变,而后者的计算量则呈指数增大到无法计算的程度.A lterm an的这一早期
工作对波动数值模拟(特别是ABC)的研究具有重要影响.ABC在文献中有许多名称,例如,
吸收(ab so rb ing),无反射(non-reflect ing),透射(t ran sm it t ing),相互作用界面(in teract ion
ho rizon),寂静(silen t),无回声(anecho ic),辐射(rad ia t ing),透明(t ran sp a ren t),开放
(op en),自由空间(free-sp ace)以及单侧(one-w ay)边界条件等.同一数学物理概念具
有如此众多名称并不多见.这或许是因为ABC是许多相距甚远领域的共同问题,而不同领域
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专家的早期研究之间又缺少沟通.关于ABC的研究是在两个方向上展开的.第一个方向是建
立精确的ABC(至少在离散精度的意义上).精确ABC满足外部无限域内的所有场方程和物
理边界条件,包括无穷远辐射条件.因此,建立精确ABC的思路是解析地研究无限域内的波
动问题,然后由解析解或其控制方程组导出ABC.由此导出的ABC在一般情况下以非局部性
(non loca lity)为其特征.它们不仅在空间上为非局部,即所有边界节点的运动相互耦合;而
且因解析解一般在频域内建立,它们在时间上亦为非局部,即边界节点在某一时刻的运动与
过去所有时刻的运动耦联.本节的下一小节将讨论精确非局部ABC的研究,第二个方向是建
立实用的近似ABC.近似ABC虽然不能严格地模拟无限域对近场波动的影响,但能够以满足
实际需要的精度模拟这一影响.这类ABC的主要特征是其局部性(loca lity):一个边界点在
某一时刻的运动仅与其邻近节点在邻近时刻的运动有关.由于这一解耦特性极大地简化了数
值计算,此类ABC因其实用性受到研究者极大的重视.自60年代末以来,局部ABC是ABC
研究的焦点.本文第3节将评述关于局部ABC的研究.在以下讨论中,假定包含波源(或散
射源)的整个近场区域用凸的人工边界包围起来,近场区域内的波动用有限元或有限差分方
法模拟.
2. 2 非局部ABC
如前所述,精确的非局部ABC满足无限域内所有场方程和物理边界条件.显然,其导出
方法与无限域模型的复杂程度相关.对于无限域的一般线性模型,主要采用边界积分方程方
法.本小节将首先讨论这一普适性较强的导出方法.然后再评述其他普适性较弱但对特定的
较为简单的无限域模型行之有效的方法.
2. 2. 1 基于边界积分方程的非局部ABC
土木工程中土-结构动力相互作用的分析可用于说明由边界积分方程建立此类ABC的
思路.进行这一分析常采用子结构法(sub st ructu rem ethod).所谓"子结构法"是把结构从
周围土体中分离出来,并在分离的界面上加上用动力刚度矩阵联结边界位移和边界力的条件
再进行结构动力反应分析的方法.为讨论ABC问题,可将"子结构"概念略作推广,即用广
义结构(包含结构及其邻近土体)代替原结构,且在广义结构内允许出现非线性(例如,在
与基础邻接的土体中和减震装置中可能出现非线性,以及地面大型结构基底局部抬起和地下
结构侧壁与土体脱离等),而外部无限域仍采用线性模型.因此,广义结构(以下简称结构)
边界上的ABC仍可在频域内用无限地基的动力刚度矩阵S(X)表达
R(X)=S(X)U(X)(1)
式中R(X)和U(X)分别为人工边界离散节点上相互作用力和位移的振幅矢量,S(X)=K(X
)+iXC(X),X为振动圆频率.动力刚度矩阵S(X)可由基于边界积分方程(bounda ryin te2
g ra lequa t ion)的边界元法(bounda ryelem en tm ethod)导出.除广泛使用的直接边界元法外,
亦可使用间接边界元法和加权余数等方法[ 13, 14 ].如此导出的矩阵S(X)一般为满阵,即S(X)
的所有元素在一般情形下皆不为零.关于S(X)已有较深入的研究,读者可由综述文章查阅有
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关研究报告[ 5, 15, 16 ].
Co le等(1978),Ka raba lis等(1984)和W o lf等(1984)[ 17～19 ]首先将边界元法用于处理
时域无限域问题.M o to saka等(1990)和W o lf等(1985)[ 20, 21 ]则研究了由式(1)的傅里叶反
演导出人工边界上时域相互作用力的方法.在将S(X)分离为奇异部分(即S(X)在X=∞时
的渐近值K(∞)+iXC(∞)和在X轴上绝对可积的另一部分Sr(X)=S(X)-K(∞)-iX
C(∞)之后,可得时域相互作用力r(t)的如下计算公式
r(t)=∫t
0
sr(t-4)u(4)d4+K(∞)u(t)+C(∞)du(t) dt(2)
式中sr(t)表示Sr(X)的傅里叶反变换,时域位移矢量u(t)为U(X)的傅里叶反变换.用类似
方法可得用人工边界节点的速度和加速度的卷积表出的时域非局部ABC.在近场波动数值模
拟中应用这类ABC的主要困难是计算量过大.即使对于线性结构,当人工边界节点的自由度
总数较大,而无限域又较复杂(例如,无限域的介质沿某一方向为非均匀)时,形成频域动
力刚度矩阵S(X)的数值计算量过大;同时,由于S(X)为满阵,应用式(1)求解结构动力反
应的计算机消耗亦较大.虽然此种ABC已成功地应用于大型线性结构与地基土的动力相互作
用分析,但过长的计算时间给工程分析工作带来极大不便.若结构具有非线性或弹塑性,则
还需在每一时步完成时域ABC式(2)包含的卷积运算,从而极大地增加计算工作量.设人
工边界节点自由度数为N,则在逐步积分的每一时步需完成N2个卷积运算.卷积运算要求
存贮边界上所有边界节点运动的全部时间历程,并在每一时步完成由Sr(X)到sr(t)的傅里叶
反变换或存贮sr(t)的N2个分量的全部时程.为了减少实现此类ABC的计算量,沿着两条途
径开展了研究工作.一条途径始于时域sr(t)的近似处理,由此导出了简化的迭代算法[ 22～24 ];
另一途径则始于频域S(X)的近似处理,例如,S(X)用两个iX的多项式之比近似,从而可将
r(t)的计算转换为常系数常微分方程组初值问题的解算,进而利用z变换,则卷积积分亦可简
化成迭代计算[ 25 ].上述近似引入的误差使此类ABC失去了原有精确性.
由频域内的边界积分方程亦可导出精确非局部ABC的解析表达式.此时式(1)中的R(X)
可理解为连续地分布在人工边界上的应力矢量,U(X)为连续的位移矢量,S(X)则为一非局
部积分算子.由于R(X)与U(X)的边界法向导数成正比,则式(1)将位移U(X) (D irich let
数据)和U(X)的法向导数(N eum ann数据)联结起来,式(1)即成为连续的D tN(D irich let
toN eum ann)ABC,而算子S(X)则称为D tN变换[ 26 ].关于D tN已做了不少研究[ 27～32 ],对
均匀和各向同性无限域中的简单声波和弹性波情形,D tN可写成封闭形式[ 33～35 ].由于D tN在
实际运用中必须离散化,因此,D tN在本质上与前述用动力刚度形式表出的非局部ABC相
同.
2. 2. 2 导出非局部ABC的其他方法
如上所述,从边界积分方程导出非局部ABC是常用的具有较强普适性的方法,但不是唯
一的方法.针对特定的和较为简单的无限域模型非局部ABC亦可采用其他方法导出.下面是
几个值得注意的方法:
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A.当无限域由具有刚性基底的成层线弹性介质构成时,在与介质分层界面垂直的人工边
界上形如式(1)的非局部ABC可用基于面波型函数展开的方法建立[ 36～38 ].这就是著名土-
结构相互作用分析软件SA SS I中所用的一致边界条件[ 39 ].
B.波函数展开方法[ 2, 40, 41 ]可用于建立均匀弹性无限域的非局部ABC.设人工边界上离散
节点自由度的总数等于无限域内波函数级数解待定系数的总数,则用有限元或有限差分法建
立的这些节点的运动微分方程即为所需非局部ABC.这类ABC中包含的未知的待定系数并
不影响边界内节点运动的求解,因为全部节点的运动及ABC中未知的待定系数可由内部节点
的运动方程与ABC联立求解[ 1 ].
C.非局部ABC也可基于惠更斯原理直接在时域内建立[ 42 ].考虑均匀无限域中三维声波
的散射.由散射体产生的波动以声速c向外辐射,因此,人工边界上一点x在时刻t的散射波
压力p(x,t)可用边界内另一附加边界上的压力及其偏导数在t时刻之前的值按克希霍夫
(K irchhoff)公式确定,即p(x,t)为[p],[5p 5n]和[5p 5t]的泛函.这里,5p 5n和5p 5t
分别表示压力的法向偏导数和时间偏导数,算子[ ]表示延迟运算,例如, [p] =p(x',t-
r c),x'为附加边界上一点的坐标,r= x-x' .因此,人工边界点在t时刻的压力可由过
去有限时间段(rmin cFtFrmax c)内在附加边界上的压力及其导数确定,rmin和rmax分别为r
的极小和极大值.这一ABC仅在空间为非局部,而在时间上则是局部的,因为,计算机存储
量将不随时间增大.此法的主要优点是适合直接在时域内处理均匀无限域的三维声波问题.将
此法推广到弹性和成层无限域情形的可能性值得研究.
综上所述,非局部ABC不仅将所有边界节点的运动耦联起来,而且(除前述基于惠更斯
原理的特殊方法外)还将全部过去时刻的运动与现时刻的运动耦联起来.因此,就近场波动
在时空域内的数值模拟而言,即使对于大型三维线性问题,大计算量的非局部ABC难以满足
实际需要.例如,对于地震勘探中的波动问题,为了在波动方程基础上由观测记录反演地下
构造,不仅需要完成复杂的三维波动正演计算,而且需要快速完成多次这样的计算.由此可
知,ABC处理方法的简化势在必行.不过,深入研究非局部ABC,特别是增强其普适性和提
高其计算效率是十分有意义的.因为,它们至少可用于检验实用ABC的精度.迄今为止,这
类检验限于利用十分简单的模型的解析解,而至关重要的是针对复杂的实际情形进行这样的
检验.
3 局部ABC
局部ABC可由前述非局部ABC通过在一定近似条件下的局部化导出.例如,就两维稳
态声波问题而言,可以由基于边界积分方程的非局部ABC,利用大距离渐近展开将其局部化.
W o lf(1991)则假定频域刚度矩阵S(X)的元素可用两个iX的多项式之比的有理式来近似,并
在运用部分分式展开此有理式之后,他发现此展开式中的每一项等价于与频率无关的弹簧,阻
尼器和质块所组成的集中参数模型[ 43 ].这一局部化方法已应用于某些特殊无限域模型[ 44～46 ]
部ABC的参数亦可由S(X)用非线性参数识别的方法导出[ 47, 48 ].这类局部ABC便于工程应
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用,但其精度和适用范围尚待进一步研究.不过,建立局部ABC的基本方法并非通过近似数
学处理将非局部ABC局部化,而是在单侧波动概念之上独立地发展的.单侧波动这一物理概
念是在地震勘探和水下声学等领域中提出的[ 49～51 ].在近场波动数值模拟中涉及的单侧波动是
指从近场区域内向外辐射的波动.这是因为在外部无限域中不存在散射源,这些外行波动不
会再返回计算区.几乎所有局部ABC在本质上均可视为某种单侧波动方程,即单向传播的波
动所满足的方程.基于单侧波动概念已提出了多种多样建立局部ABC的方法[ 4, 26 ].廖振鹏
(1996)[ 52 ]将主要建立方法分为两类:从特定运动微分方程导出相应的局部ABC和从模拟单
侧波动的一般过程导出具有普适性的局部ABC.现分述于下.
3. 1 从特定运动微分方程导出局部ABC
L indm an(1975)[ 53 ]首先将从特定的运动微分方程(即双侧波动方程)导出单侧波动方程
的思想运用于建立局部ABC.这一方法现已用于从多种运动微分方程导出相应的局部
ABC[ 1, 26 ].
对于声波方程,局部ABC可由Somm erfeld辐射条件[ 54 ]得到.设入射波进行方向(x
轴)与人工边界垂直,则得局部ABC
5
5t
+c
5
5x
u= 0(3)
式中c为声波速度.就一维问题而言,式(3)不仅在无限远处,而且在有限距离处也是精确
的.对于多维问题,式(3)则为近似式.H a lp ern(1982)[ 55 ]讨论了式(3)的各种有限差分近
似及其稳定性.Fo rem an(1986)[ 56 ]则将类似式(3)的ABC应用于一维线性化浅水方程的数
值模拟.从声波方程导出的一种重要的局部ABC是C lay ton-Engqu ist吸收边界条件,以下
简称CE[ 57～60 ].推导CE的方法是对声波单侧频散关系作近似有理展开,并经傅里叶反变换求
得各阶近似.CE的一阶近似为式(3),它仅适用于小入射角情形,其高阶近似可提高精度并
扩大入射角的覆盖范围.T refethen等(1986)和H a lp ern等(1988A)[ 61, 62 ]讨论了这一频散关
系其他可能的有理近似,指出CE在小角度入射时表现最佳,且所有近似在掠入射情形均出现
大的误差反射.他们还讨论了CE型ABC的适定性问题.Ko lakow sk i(1985, 1986)[ 63, 64 ]讨论
了CE型ABC对线性化浅水方程的适定性问题.H a lp ern等(1987)[ 65 ]分析了连续情形CE的
误差,但在分析中假定边界为平滑的凸面并具有严格的正曲率,因而分析结果不适用于广泛
使用的具有角点的矩形或方盒形人工边界.G ivo li(1992)[ 26 ]对CE在不同领域中的应用研究
及改进的尝试做过详细评论.H igdon(1986)和Key s(1985)[ 66, 67 ]利用单侧平面波概念由声波
方程导出了一种局部ABC,其精度由L个人为设置的平面波入射角Hj控制, Hj 1 2时此系数大致不变.简单地
形对面波的影响亦可用解析方法分析.例如,M a l(1965)[ 153 ]利用格林函数解析地导得向上阶
跃地形的瑞利波透射和反射系数.但是,Fuyuk i等发现这一解析结果与上述数值结果的差别
显著,并指出其原因是解析方法未能考虑波的衍射.这个例子说明,即使对于如此简单的地
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形变化,严格地用解析方法处理散射问题的困难仍然很大.M una singhe等指出,对于向下阶
跃地形(h K> 3 10)大约80à的入射瑞利波能量将转化为体波.M cL augh lin等指出,向
上或向下斜坡地形亦将使大部分入射瑞利波能量转化为体波,主要是SV波.M cL augh lin等
(1989)[ 151 ]还用随机地面地形模拟真实地表的复杂性,并用数值方法研究其对瑞利波的散射.
他们指出,此种不规则地面地形亦使面波转换为体波,并造成瑞利波沿自由面衰减,且地面
愈不平坦,衰减愈大.他们还指出,地面地形对爆炸记录的尾波亦有重要影响.近场波动数
值模拟方法除用于阐明体波和面波之间的转换规律外,还用于估计它们对地震波的放大作用.
这是一个重要的工程问题.O h t suk i等用有限元数值模拟研究了向下阶跃地形对入射瑞利波
的放大效应,并发现即使h K小至1 4 ,在阶跃附近亦产生显著放大效应.Boo re(1972)用
有限差分法模拟二维山体对竖直向上入射的SH波的反应,发现当地震波长不超过山体的半
宽时,山顶出现显著放大.Sm ith(1975)[ 155 ]用有限元法研究了类似问题,但入射波动包括SH,
P和SV波,亦得到类似结论.Boo re(1973)用有限差分法研究了Paco im a坝强震仪场址地
形对地震体波的散射.他指出1971年SanFernando地震时该场址获得的最大地震加速度
1. 25g可能较相应扁平地面放大50à.不过,上述地形放大效应的数值模拟皆使用二维模型,
对三维情形研究不多.廖振鹏等(1981)[ 102 ]用有限差分法模拟小尺度三维轴对称地形对竖直入
射S波和P波的放大效应,并采用沿方位角的傅里叶级数展开将三维问题化为二维问题.当
横波波长K与山底半径R之比不低于2时,他们发现孤立山包发生整体摇动.当H R= 1 3
～1 2时(H为山包高度),摇动周期为T0= 3. 2R cs,cs为横波波速.在这一振动周期,山
顶较地面放大1～4倍.这一放大效应为地震震害的有关调查结果提供了某种数量级解释.在
P波入射时,则竖向地面运动放大40%～125%.三维地面凹陷对水平或垂直地震动的影响均
小于具有同一尺度的山包的影响.不过,以上结论仅适用于小尺度三维地形情形.
分层均匀的水平成层半空间是地球介质的一级近似模型.在此背景介质模型之上除存在
可以确定地描述的局部非均匀性外,还有难以用确定方式描述的复杂非均匀性,即存在大量
不规则的尺度较小的散射体.就地震工程涉及的地表土层和基岩而言,此复杂性已为浅层钻
孔资料所证实.就地球物理涉及的地壳和上地幔而言,此复杂性则为地震观测结果所揭示.这
些地震观测结果包括:穿越地震观测台阵的地震波走时,振幅和波形的变化[ 157, 158 ],直达P波
和S波的尾波[ 159 ]和地震波能量的表观衰减(app a ren ta t tenua t ion)[ 160 ].地球介质的上述复杂
性及其对波动的影响不可能确定性地加以研究,因为这涉及大量未知的介质力学参数.为了
表征这一复杂性,并建立其与波动观测量的统计特征(例如均值和方差)之间的联系,近年
来随机介质中的波动理论在地震学中得到发展.随机介质的力学性质可用少量参数描述.例
如,设波速为随机变量,各向同性随机介质的性质一般可用波速的空间自相关函数N(r)表
示,r为空间两点之间的距离.N(r)则常由单一参数,即由相关距离a决定.自相关函数N(r)
常采用高斯N(r)=exp(-r2 a2),指数N(r)=exp(-r a)和卡门自模拟N(r)=
K0(r a)模型,K0为零阶修正贝塞尔函数.在前面两个N(r)模型中,相关距离a相当于占优
势的散射体尺寸,后者则不存在占优势的散射体尺寸.随机介质中波动的散射可用解析方法
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或解析-数值方法研究,这类研究多基于一阶Bo rn[ 161 ]近似,在此种近似分析中仅考虑一次散
射并略去散射能量的损失.Gao等(1983)[ 162 ]提出了多次散射理论,改进了以上分析.但是,
此理论仍违背能量守恒原则.W u(1985)[ 163 ]的散射能量传输模型考虑了多次散射和能量守
恒,但未给出时域结果.这些解析研究多限于理想的均匀随机介质,对于较复杂的背景介质,
则难度更大.与解析方法相比,用近场波动数值模拟研究随机介质中的波动问题十分简便:首
先用N(r) (或其傅里叶变换,波数域内的功率谱)由随机数种子产生介质的样本,然后进行
波动的数值模拟以直接获得时域结果.这一直接数值模拟在原则上适用于任何复杂的介质模
型(除散射体特征尺寸远大于波长的极端情形,此时宜使用射线理论),它直接揭示全部波场,
包括多次散射,所有绕射,所有波型转换和计算区域内全部能量守恒(除去传出网格的能
量),并直接给出随机介质中任一点的时程样本,这些时程可用于建立介质随机模型特征参数
与观测量统计结果之间的定量关系.关于应用近场波动数值模拟方法研究地壳和上地幔复杂
非均匀性的有关研究结果,请参阅F rankel(1989)[ 164 ]的文章.
地震勘探的基本波动问题是解释在人工震源激励下在震源附近非均匀地球介质中的波
动.就基于波动方程的解释而言,迄今为止多采用基于频域分析的傅里叶积分变换方法.为
了说明发展时域波动数值模拟方法的重要性,我们首先考察流体充填井孔周围介质中波的传
播.这是解释声学测井资料必须阐明的问题.直至不久之前,对它的研究主要采用上述频域
方法,并假定模型具有一定对称性以便应用基于格林函数的一般解.例如,假定模型是轴对
称,竖向均匀和各向同性的,并限于分析单极子井孔波的传播[ 165～171 ].此法随后被推广于剪切
波(双极子),多孔介质及横向各向同性等情形[ 172～179 ],以及有一定不规则性的井孔模
型[ 180～188 ].这些研究工作表明,为了用频域方法获得具有足够精度的解答并减小过大的计算量
必须对井孔的介质模型做某种简化.因此,频域方法对于几何上非规则,力学性质上非均匀
和各向异性介质的一般情形是不实用的.最近,Cheng(1994)[ 189 ]用有限差分和局部ABC相
结合的方法研究了各向同性和各同异性介质中井孔波的传播,并得用67台微机并行运作实现
了这一波动的三维数值模拟.模拟结果不仅在较简单情况下用已知的离散波数解做了检验,而
且对复杂情形的模型试验结果和野外观测资料做了有意义的解释,展示了数值模拟方法的潜
力.此外,谢小碧等(1988)[ 190 ]研究了二维非均匀介质中P-SV波的有限差分模拟,邵秀民
等(1995)则将有限元和M T F结合起来模拟各向同性和异性介质中的地震波动,并对M T F
的稳定实现方法做了探讨.Peng(1994)[ 192 ]则将波动数值模拟方法用于分析井孔对井下测量
结果的影响.马在田(1989)[ 193 ]对波动的有限差分模拟在地震偏移成像技术中的应用做了系统
讨论.应该指出,在偏移成像理论中的单侧波动问题在一定意义上即局部ABC问题.可以预
期,局部ABC(尤其是在各向异性弹性情形)研究的进展将有助于改进这一成像技术.
5 结语
有限元或有限差分近场波动数值模拟在数学上是将偏微分方程的初边值问题化归一组常
微分方程的初值问题(在空间离散化之后)或一组规则代数方程(在空间和时间两者均离散
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化之后)求解.有人曾认为这一数值模拟不过是计算机编程问题,且其精度和稳定性问题已
为经典理论所解决.但本文概述的近20余年的研究工作表明,这一看法是欠妥的.我们看到,
不仅在离散网格边界的处理上出现了经典理论从未考虑过的数学物理问题,即涵义深刻的人
工边界问题,而且波动离散模拟的精度和稳定性亦远非经典理论设想的那样简单.例如,经
典的稳定性概念仅涉及解答对边值和初值的连续依存性,这一概念对证明收敛性是必要的,但
就波动离散模拟稳定性的判别而言,则不适用.数值模拟的稳定性和精度与离散网格中波动
的规律及波与物理边界或人工边界的相互作用密切相关.在这里,出现了与连续介质中的波
动理论并行的一系列多姿多彩的新问题.一个有趣的事实是迄今为止近场波动的分析仍主要
使用基于傅里叶变换等的频域技术,而且对典型的暂态问题(例如,地震作用下土-结构相
互作用分析)亦是如此!这一现状可能首先与ABC的研究在频域内已达到较高水平有关,其
次也与频域内已有普遍接受的复阻尼理论有关.本文表明,这种状况正在发生实质性变化,完
善波动数值模拟理论并建立近场波动计算机仿真技术的时机已经成熟.将局部ABC和解耦的
区域离散化方法结合起来使这一数值模拟完全解耦,并阐明这一解耦模拟的精度和稳定性,看
来是解决问题的正确方向.今后需进一步完善局部ABC理论,并深入研究离散网格中的波动
与边界的相互作用,以圆满地解决精度和稳定性问题.此外,为了严格检验这一解耦模拟方
法在处理复杂三维问题中的可靠性,还应进一步发展非局部ABC理论,为这一检验提供标准.
同时,还应继续完善与频域复阻尼理论对应的时域阻尼理论,并将这一理论合并到波动解耦
模拟技术中去.可以期望,基于近场波动数值模拟的计算机仿真技术将广泛应用于有关科学
研究和工程设计.
本文的评论基本上限于无限域中的波动为线性的情形.文中仅简略地提到有关非线性波
动数值模拟的若干工作,迄今为止在这一方面研究的深度和广度远不如线性情形.例如,即
使是稳定性概念的定义亦尚待澄清.因为,一种数值模拟算法对于一种定义是稳定的,但对
于另一种定义则可能不稳定[ 136 ].非线性波动的数值模拟是值得开拓的极为重要的领域.
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gflyingdx

问题很复杂，一时间看不懂；数学的知识要求比较多