风成沙纹形成过程模拟与形态分析

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风成沙纹形成过程模拟与形态分析

罗 昊，倪晋仁，李振山
(北京大学 环境工程系，水沙科学教育部重点实验室，北京100871)

摘要：通过简单的跃移模型、蠕移模型和稳定模型对风成沙纹的形成过程进行了二维数值模拟研究。模拟结果表明沙纹波长和波高与床面蠕移沙粒的移动距离成正比，沙纹的波高随着床面的冲击密度的增加而增大，沙纹的稳定形态与蠕移距离大小有关。

关键词：风成沙纹；数值模拟；模型；形态；机理

引言

在风力作用下，近床面的沙粒运动可分跃移和蠕移两种类型。跃移沙粒从气流中直接获得动量，蠕移沙粒受跃移沙粒冲击而向前移动^［1］。风成沙纹的形成是沙粒蠕移过程的直接结果^［2］。通常沙纹的研究既要考虑蠕移过程，又要考虑跃移过程。不过由于这两个过程 及其相互间的耦合过程非常复杂，在数值模拟中直接得到再现反映十分困难，因而通常需要进行一些简化。

    在沙纹数值模拟中，一般假设一个跃移颗粒只驱动一个床面颗粒进入蠕移状态，且跃移颗粒在与床面发生碰撞之后，自身反弹并不停留在床面上。这样床面的变形仅仅是由于蠕移颗粒的重新排列所引起，而避免了由于引入跃移颗粒造成的整个计算区域内的颗粒总数的不守恒问题。另外还假设床面是由均匀粒径的沙粒凹凸排列组成，沙粒为刚性圆球。沙纹的数值模拟算法一般由三部分组成^［3］，这三个部分分别模拟沙粒的跃移过程、蠕移过程以及整个床面的稳定过程。对应不同的模拟过程，分别建立跃移模型、蠕移模型和稳定模型。本文在已有研究的基础上对风成沙纹的形成过程进行了模拟，其中对模拟中的跃移算法和稳定算法进行了较大的改进，并得到了一些新的结论。

2 模拟模型

2.1 跃移模型?

跃移模型的模拟算法类似于前人的算法^［4～6］，是模拟沙粒从空气中某一特定高度落下，用来选择床面上将要进行蠕移的颗粒。在这个模型中，首先随机选择床面上方某一特定高度上的某一个点，认为有一颗泥沙颗粒从此位置上沿风向开始下落，与水平面成某个特定的角度，其轨迹为一条直线。这样，床面上被下落沙粒击中点处的沙粒就是将要进行蠕移运动的沙粒。假定横坐标为x的跃移颗粒从特定高度下落，其运动轨迹为

??h′_x+l=h-l×tgα　　　　　　　　　?(1)

??

式中，h为假定的跃移颗粒的特定初始高程，l为横坐标的增加值, α为冲击角，h′_{x+ l}为横坐标为x+l时的跃移颗粒的高程。其物理意义是：当跃移颗粒沿风向运动一个单位，其高程减少一个冲击角正弦值，不断地重复此过程，当跃移颗粒的高程值h′_x+l小于等于床面某颗粒的高程h_x+l时，便认为跃移颗粒与床面撞击接触，被撞击颗粒为蠕移颗粒，跃移运算结束，进入蠕移计算。

2.2 蠕移模型?

蠕移沙粒从跃移沙粒的撞击中得到一定能量，经过十几个粒径的距离后便停止，其模型方程为

??h′_x=h_x-D　　　　　　　　　　　　(2)

h′_x+L=h_x+L+D　　　　　　　　　　　　　(3)

式(2)(3)中，x为跃移模型确定的蠕移颗粒位置，h_x为x位置的蠕移颗粒运动前的初始高程，h′_x为x位置蠕移颗粒运动后的高程，D为蠕移颗粒直径；L为假定的蠕移运动指定距离，x+L为蠕移颗粒降落点位置，h_x+L为x+L位置的蠕移颗粒运动前的初始高程，h′_x+L为x+L位置蠕移颗粒运动后的高程。其物理意义为：蠕移颗粒从x位置移动到了x+L位置，此时在x位置由于蠕移颗粒的移出其高程减少了一个颗粒单位直径，在x+L位置由于蠕移颗粒的移入高程增加了一个颗粒单位直径。

2.3 稳定模型? 当蠕移颗粒移动固定距离后，蠕移运动结束的时候，沙粒的运动就会停止，但是此时的位置并不一定是蠕移沙粒的最后稳定位置。因此，还必须引入第三个模型，即稳定模型。稳定模型是使沙粒真正最终达到稳定位置的算法。在稳定过程模拟中将沙粒沿该点处的最大梯度方向移动，当一个颗粒位于另外两个颗粒的上方时认为它已经稳定，即任意两个相邻颗粒间的高程差不大于0.5倍的泥沙颗粒直径。这个算法考虑了蠕移颗粒离开床面瞬间的床面的稳定分析，同时也对蠕移颗粒下落至床面后能量为零时进行稳定分析，而有别于过去只对蠕移颗粒下落后的床面进行稳定分析的算法［６］。    当跃移颗粒撞击床面引起蠕移颗粒进行运动的瞬间，整个床面的稳定性受到了破坏，因而需引入稳定模型对这一瞬间的床面进行稳定分析，直到这个床面颗粒重排列成稳定的情况。而当蠕移运动结束时，此时的床面再次形成不稳定，因此必须引入稳定模型。蠕移颗粒沿当地床面坡度最大的方向运动，直到任意两个相邻颗粒间的高程差小于0.5倍的颗粒直径时，床面才是真正达到稳定。这个模型的优点在于它能够控制整个床面的最大坡度为30°，与沙粒的休止角接近。 3 模拟结果及讨论 3.1　风成沙纹形成过程分析?

图1 在固定蠕移距离情况下的沙纹发展过程 Fig.1 Development of ripples at the fixed pace of creeping grains?

模型中分别选取跃移颗粒冲击密度为30、40和50，取蠕移颗粒不同的移动距离计算了4种情况(10、15、20和25个沙粒粒径距离)，图中分别以N和L表示冲击密度和蠕移颗粒移动距离。模拟时间步长为0.1秒，模拟次数为100万次，相对于时间单位为10万秒。模拟结果如下。?

图1为一次典型的沙纹产生和演变的过程。横纵坐标单位为沙粒粒径的倍数。图中显示的是冲击跃移颗粒40次，蠕移距离为20个颗粒粒径的情况。从图中可以看出，沙纹从初始平坦的床面上自然地产生，并随着模拟的进行而演进。演进过程中，沙纹的波高和波长都逐渐增加，并沿着风向移动，波高和波长不同的沙纹其移动速度也不相同，波高和波长较小的沙纹移动速度较快，较大的沙纹移动速度则较慢。因此移动速度较快的小沙纹将追上移动缓慢的较大沙纹，并与之融合产生更大的沙纹。从图中可以看出，随着时间的增大，波高和波长的增长速率明显减小，最终趋向于某一个特定值。

图2 500个时间单位后的床面形态 Fig．2 The bed form of aeolian ripple after 500 time unit run

图3 不同蠕移距离下的沙纹稳定形态 Fig．3 Stability shape of aeolian ripple in different paces of creeping grains

在选择床面上方特定高度上随机落下的跃移颗粒时，采用了真随机数。在床面受到跃移颗粒冲击时，其撞击点上的蠕移颗粒被溅起，此颗粒瞬时便移动到下风向十几或几十倍的沙 粒粒径的位置，然后对蠕移颗粒降落后的床面进行稳定分析，最终使床面达到一个稳定状态。此种算法不停的循环往复，整个床面便形成了沙纹。?

图2是计算进行500次后的床面形态，坐标单位为沙粒粒径倍数，在这里放大了x轴方向。可以看见床面上实际已经出现了凹凸相间排列的微小沙纹，说明沙纹的产生和演进在模拟开始很短的一段时间内就已经出现，是跃移颗粒随机撞击床面颗粒使之重排列的产物。?

图3是表示冲击跃移颗粒为30次，计算次数为100万次时不同的蠕移距离下计算的沙纹形态。从图中可以看出，在蠕移距离较小时，沙纹的形态是迎风坡面较缓，背风坡面较陡，更接近于实际沙纹的形态特征，随着蠕移距离的增大，沙纹的形态越来越接近于三角形，这与实际沙纹形态有所出入。因此，蠕移距离是影响沙纹形态的因素之一，其原因在于蠕移颗粒受跃移颗粒的碰撞被溅起，经过一定的蠕移距离后下落至床面，这个蠕移距离很小，只在几倍或十几倍的沙粒粒径的范围内。

3.2 风成沙纹过程特征分析?

在风成沙纹模拟的基础上可以对风成沙纹过程中的波高、波长和沙纹系数等特征值进行深入分析。

图4是在不同的冲击密度和不同的蠕移沙粒移动距离下，沙纹演进过程中的波高随时间变化的关系图，图中L为溅移沙粒的移动距离，H为波纹高，单位为沙粒粒径的倍数。从图中可以了解到，波高是随着时间的增大而增大，在模拟初期波高增长很快，后期增长明显减缓。这个是因为初始床面的沙纹波长较短，波高较小，它们在移动的过程中不断的排斥和融合，导致波长的迅速增大和波高的迅速增长，随着时间的增长，波长较大的沙纹间其排斥和融合现象都很缓慢，致使沙纹的波长和波高都不会有很大的变化了。?

图4 波高随时间演进关系图 Fig．4 Change in ripple height with time

图5是在不同的冲击密度和不同的蠕移沙粒移动距离下沙纹演进过程中的波长随时间变化的关系图，图中L为蠕移沙粒的移动距离，单位为沙粒粒径的倍数。可以看到，波长随时间增大而增大，波长的演进过程也是在模拟初期波高增长很快，后期增长明显减缓。?

图5 波长随时间演进关系图 Fig．5 Change in ripple length with time

图6点绘了在不同冲击密度条件下，蠕移颗粒的不同移动距离条件下波高H和波长氲关系，单位均为粒径倍数。可以看出，点群分布大致为一条直线，其斜率λ/H值为7～9。尽管这一个数值比自然界中的15～20的数值为小，但是可以清晰地看出其规律性，即在不同的冲击密度下不同蠕移距离的情况其波高与波长比都大致相同，说明了风成沙纹的形成和发展是一个自组织过程。?

　　图7是表示在不同的特定蠕移距离情况下冲击密度N对沙纹波高H的影响，单位均为粒径倍数。可以看出，冲击密度越大则沙纹波高越高，随着蠕移距离的增加冲击密度对沙纹波高的影响越来越大，结果可以这样解释：冲击密度越大，表明在单位时间内冲击床面的跃移颗粒数目越多，整个床面运动的蠕移颗粒数目也多，这样就导致了沙纹波高的增加，相当于增加了时间尺度。

图6 波长与波高关系图 Fig．6 Relationship between lengths and heights of ripples

图7 冲击密度对沙纹波高的影响 Fig．7 Impact of saltating grain density on heights of ripples

4 结论 ?

沙纹形成的复杂过程及其机理可以通过建立简单的跃移模型、蠕移模型和稳定模型来进行模拟。沙纹波长、波高与床面蠕移沙粒的移动距离成正比；沙纹的波高随着床面的冲击密度的增加而增加，随着蠕移距离的增大，冲击密度的影响程度也越大。沙纹的稳定形态与蠕移距离大小有关，表明颗粒的蠕移距离是沙纹形态的影响因素之一。

参考文献：

［1］Bagnold, R. A.著，钱宁，林秉南译.风沙和荒漠沙丘物理学［M］.北京：科学出版社，1959.
［2］Anderson, R. S. A theoretical model for aeolian impact ripples. Se dimentology, 1987, 34:943-956.
［3］王光谦，冉启华，刘绿波.风成沙纹过程的计算机模拟［Ｊ］.泥沙研究，19 98,(3):1-6.
［4］Walter, L., and Werner, B.T. Computer simulations of self_organize dwind ripple patterns. Physics D, 1994, 77: 238-260.
［5］Nino, Y., and Atala, Y. Discrete computer simulations of ripple emergence and evolution. The 27th?Congress of the International Association for Hydraulic Research, 1997, 1179-1184.
［6］冉启华.风成沙纹的计算机模拟［Ｄ］.清华大学硕士学位论文，1999.

收稿日期：2003-05-07?
基金项目：国家自然科学基金资助项目(49625101)?
作者简介：罗昊(1976-)，男，黑龙江人，北京大学环境工程系硕士研究生，主要从事水沙环境研究。

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