等高线的追踪与平滑处理

熔岩 · 发表于 2012-11-26 12:40

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8 等高线的追踪与平滑处理

格网型DTM将区城表示为规则或不规则的格网单元，为了更直观地表示地形变化，等高线(高程等值线)则是最简单、最方便的手段，也是地形图的重要元素之一。在气象、水文、地质等领域，等值线也具有很重要的作用。

利用格网数据结构存储的格网结点信息及附加的格网单元结构信息，生成符合实际地形和绘制地形图要求的等高线，一直是DTM应用的研究课题。

8.1 矩形格网的等高线追踪

追踪等高线是从矩形格网某个单元的边上开始的，等高线的延伸方向是根据矩形格网结点的高程值决定的。由于」条等高线完全包含在二个矩形单元内的情况非常少见，所以等高线追踪的主要问题是计算等高线与矩形单元边的交点。

一条边的两个端点的高程只有分别大于和小于某个高程值file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28145.png时，相应于高程值的等高线才会与这条边相交。

图8.1

对于图8.1矩形格网单元4个结点的高程中：

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-2301.png大于等高线高程值；

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-31284.png小于等高线高程值；

则有如下几种相交的可能(暂不考虑结点高程等于等高线高程值的情况)

1)和(2)两种情况，矩形单元的边不与等高线相交(四结点高程都大于或都小于H值);只有(3) ～(6) 才会有等高线穿过矩形单元，其中(3),(4)和(5)的等高线在单元内的走向比较容易确定，如图8-2所示；（6）的情况比较复杂，等高线的走向有多种可能性，见图8-3。

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-20333.png计算等高线与矩形单元边的交点，一般采用线性插值。交点的坐标为：

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-17751.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-29256.png

其中，file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-12565.png，file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3781.png为矩形单元相邻结点file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-9890.png点和file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3761.png的坐标；file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-16448.png是高程为file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-17486.png的等高线与file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-11301.png边的交点坐标。

矩形格网结点高程等于等高线高程的情况并不常见，但是在矩形的4个顶点中如果有一个顶点的高程与等高线值相等，就会使判别等高线走向的复杂程度增加很多，如图8-4所示，图中file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-7688.png为高程等于等高线高程的顶点。

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-31702.png

由于计算机计算精度的因素，在实际应用中可能有图8-3和图8-4中的情况出现。在复杂情况下，最终决定等高线的走向需要参考邻近矩形单元的情况，也可以把矩形单元进一步细分，在更小的单元内判断等高线走向。例如图8-5(a)中，等高线从矩形单元的AB边上进入矩形，但走向还确定不了。对ABCD作进一步划分(如图(b))后，根据A，E，F，G四点的高程可以判断出等高线的走向。

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-30966.png

某等高线的高程等于某格网顶点的高程。

8.2 TIN等高线的追踪

由TTN生成等高线的原理与矩形格网的等高线生成原理基本相同，但它是依据三角形顶点的高程值与等高线高程的关系，判断等高线是否与三角形的边相交。由于三角形顶点数目少于矩形，需要判断的情况耍比矩形格网简单。

从图8-6(a)和(b)中容易判断出三角形内等高线的走向。高程为以或H)的等高线与三角形边的交点位置file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-27435.png的计算方法与矩形格网时计算相同(图8-7)，为:

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-4160.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-17552.png

TIN中追踪等高线时，首先寻找追踪起点。比较常用的方法是检索所有三角形，根据三角形三顶点的高程坐标，判断是否有相应于追踪高程的等高线与三角形边相交。判断公式为：

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-14565.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-29766.png

式中 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-21619.png为某条边两个端点的高程。

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-10926.png

图8-6 三角形内等高线的判定

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-31400.png追踪的等高线高程。

·若file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-11748.png<0，则等高线与此边相交;

·若file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-6437.png>0，则没有交点，即等高线不通

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15665.png

过此边进入该三角形;

·若file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-399.png=0，等高线从三角形顶点通过。

寻找到等高线的一个起点所在的三角形(起始三角形)就可以开始追踪。当等高线不从三角形的顶点通过时(file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15651.png<0)，在三角形内部等高线的走向由公式(8-2)计算。

在TIN中，追踪等高线的过程从起始三角形开始，依次处理邻接的三角形。根据邻接三角形具有共同边的性质，逐一确定等高线延伸方向上的三角形。追踪时，等高线经过的每一个三角形都被加注标记，以避免重复检索。当等高线延伸返回起始三角形或追踪到位于边界的三角形时，这一条等高线的追踪过程结束，同时也确定了等高线是闭合的曲线还是开放的曲线。由于在一个区域中可能有多条同一高程的等高线存在，所以还要在未被标记的三角形中重复寻找等高线起点，继续追踪，直到整个TIN都被检索，如图8-8。

8.3 DTM 区域内部等高线的断开处理

相应于某一高程的等高线在某一区域内不一定是闭合曲线，如在地形断裂线和河流等处，等高线会发生中断。在DTM的边界之外，也没有可以生成等高线的数据。因此追踪等高线的程序应该能够识别处理闭合和非闭合的等高线。

格网型DTM的数据结构中除了格网结点的坐标，还可以附加其它信息，如相邻的格网单元位置等。在追踪等高线时根据这些信息可以判断出当前格网单元的位置。当追踪到区域边界处，程序会自动停止搜索。断开处理的方法有:

(1)格网预处理方法

预处理方法是在构造格网结构时，同时确定等高线断开的区域，把这些区域的边界信息附加在格网结构中，追踪等高线时可根据边界信息决定等高线是否继续延伸。再进行相应处理。绘制等高线和地形图是DTM最主要的用途，预处理法能够提供较快的结果。在追踪等高线时，可使用一致的算法处理区域内部禁区和外部边界，处理速度较快。如果实际地形发生变化，用预处理方法建立的DTM就要改动甚至重新构造。

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25037.png

图8-8 TIN中追踪等高线的流程

(2)后处理方法

后处理方法在构造DTM格网时，不考虑地形、地物对等高线断开的影响，只根据原始离散点数据和地性线、断裂线等地形信息构造DTM格网结构。DTM生成等高线的过程是在其覆盖的整个区域上进行的，判断等高线在何处断开是通过计算禁区与等高线的交点决定的。

后处理方法在构造DTM格网时计算最不大，DTM中包含的信息比较简单。地物信息可以独立于DTM格网，地物的变化一般不会影响DTM的结构，使得DTM可以应用于多种环境，特别是在区域规划等应用中具有适应性好的特点。但是这种DTM结构在应用时所需的计算最比较大，如追踪等高线时，要计算每条等高线与每个禁区的每条边界的交点，如果等高线的密度大及地物较多时，大量计算就会严重影响处理速度。

8.4 等高线的平滑处理

实际地形一般是连续变化的，但是从格网型DTM中生成的等高线，是由每个格网单元内追踪的直线段组成的折线(图file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22858.png中的虚线)，以图形方式输出等高线。如显示图形或绘制地形图时，必须对等高线进行平滑处理，使等高线成为连续光滑的曲线(图file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-16211.png中的细实线)。平滑处理不仅为了图形的美观，而且

是使等高线能更准确地描述实际地形的变化。

平滑处理的基本原理是曲线拟合，选择不同的拟合算法，将得到不同的平滑结果。为了适应不同的地形，平滑处理程序可以包含不同的拟合算法，以得到最接近实际的结果。

8.4.1 线性迭代法

线性迭代法又称为抹角法，是用反复的线性迭代产生加密的折线，对等高线进行光滑处理。迭代过程

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28903.png

如图file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-5522.png所示，折线file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3602.png是从格网中产生的等高线。第一次迭代插值产生出file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-30972.png和file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25385.png点，抹去了file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-27474.png点，即用file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-26747.png代替了file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-13058.png。继续迭代产生file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-17554.png点，使等高线进一步光滑，成为file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22248.png。迭代过程可以不断进行下去，直到光滑程度满足图形输出要求为止。

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15239.png

线性迭代的算法简单，但光滑后的等高线会偏离原有的数据点(如图file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-10419.png中的file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-1608.png点)。

8.4.2 分段三次多项式

这种方法是在等高线上每两个点之间(即每条折线线段上)建立起一条三次曲线，在整条曲线上具有连续的一阶导数。每一点上的一阶导数是以该点为中心，加上前后各相邻的两个点(共file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-23471.png个点)共同确定的，所以又称为五点光滑法。

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-14520.png

如图file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-21204.png中file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22024.png号点处的导数的计算公式为

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-27847.png （8-4）

式中 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-16779.png 是四段弧file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-8309.png的斜率，

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-8070.png

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-29849.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-19837.png为各点的平面坐标。

三次曲线方程为 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3503.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-13035.png

确定file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-32366.png条件是: file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25651.png点file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-11304.png和file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-12782.png通过该曲线;

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-27484.png根据公式(8-4)确定的在点file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-29634.png和file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15795.png处的导数file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-29411.png和file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-9468.png。

由于导数的计算需要5个参考点，在闭合等高线的起点和终点处，可利用等高线上原有的点进行推算;对于开放的等高线，则要在两端补足两点，补点时，一般假设它们在以file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-14763.png为顶点的抛物线上。

8.4.3 二次多项式加权平均法

从等高线的起点开始，每通过三点构成一条二次曲线，对通过相邻两点的两条不同的曲线进行加权平均处理，作为相邻两点间最终的曲线表达式。

构造二次曲线一般选用抛物线方程。根据抛物线轴的取向，还分为正轴抛物线法和斜

轴抛物线法。而权函数则常用三次多项式，这样;最后的加权平均结果为五次多项式。

以图8-12为例，设顶点在2号点的抛物线方程为

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-23262.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28148.png

顶点在3号点的抛物线方程为

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-13049.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-16380.png

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-11628.png

加权函数是file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28066.png和file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-415.png，且file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15677.png

2号点和3号点之间最终曲线方程表达式为

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-854.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-26401.png

8.4.4张力样条插值法

样条函数是曲线拟合的常用算法，其中三次样条函数由于具有二次连续导数，在计算机辅助设计/计算机辅助制造(CAD/CAM)领域得到广泛应用，而且产生了多种改进形式。在数字等高线程序中常用的张力样条函数是在三次样条函数中加入张力系数file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-30381.png.当file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-16300.pngfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-17530.png时，张力样条函数砖变成为三次样条函数;当file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-672.png时，它就成为线性函数。file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-24235.png取值的变化可以控制张力样条曲线的弯曲程度,使光滑后的等高线表示不同类型的地形变化. 张力样条函数是由平面上一组离散点数据定义的.设file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-21127.png,file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15536.png,…,file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-21485.png是一组已知的数据点,且file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22585.png.张力样条函数是一个具有二阶连续导数的单值函数file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-19383.png,它满足file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-5322.png (8-9)

同时file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-8414.png还必须连续,在每个区间file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-4332.png呈线性变化,即

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25941.png (8-10)

其中file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-5647.png是一不等于0的常数,称为张力系数;

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-26351.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-17496.png

为了便于编制计算机程序,用累加弦长file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-4206.png作为参数,张力样条函数可表示为

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-16875.png (8-11)

离散数据点则可表示为

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25644.png

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-12654.png

式中 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25859.png——累加弦长.

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-4580.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-10066.png

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-31241.png

对于不等于0的常数file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-21332.png,file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-29648.png和file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-27441.png在每个区间file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-8387.pngfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-31327.png上呈线性变化,公式file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22085.png又可以表示为

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-16724.png (8-12)

其中file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-6413.png,方程组(8-12)的解为

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-18339.png

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22866.png (8-13)

只要确定二阶导数file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-20452.png,公式(8-13)所表示的张力样条函数就可被确定.具体过程是:对式(8-13)进行微分,再利用节点关系及端点条件,以file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-7551.png为例(file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-17449.png的计算相同),

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-30572.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-9930.png (8-14)

闭曲线 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-16492.pngfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-12997.png （8-15）

开曲线 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15019.png （8-16）

可以得到两种情况下的关于file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28692.png的线性方程组：

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-27322.pngfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25498.png=file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-21047.pngfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-32666.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15600.png

方程组file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-24796.png和file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-7165.png的系数矩阵都是非奇异的，因此都只有唯一解，可以用追赶法求出，将得到的一组解 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-1505.png

代入公式file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-1681.png，即得到所求的张力样条函数，用于对等高线的平滑处理。张力系数file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22746.png

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-30374.pngfile:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-27199.png=file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-18345.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-26939.png

代入公式file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28617.png，即得到所求的张力样条函数，用于对等高线的平滑处理。张力系数file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28837.png

值的计算公式为 file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-12167.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-8799.png

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3145.png file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-21607.png

多数资料和实际应用系统中所选用的file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-17130.png值为1.5，file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22904.png的单位为file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-2939.png。改变file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps_clip_image-154.png的值，可以控制张力样条曲线的弯曲程度。